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√1+cosxの定積分

◆第問目！

【 難易度 ★★★ 】
　　次の定積分を求めよ $${\large \int_0^{2\pi} \sqrt{1 + \cos x }\hspace{1pt}dx}$$

半角の公式から根号を外すことができます

【解答のポイント】

\({\hspace{1pt}\sqrt{1 \pm \cos x}\hspace{2pt}}\)の積分は半角の公式 $$\displaystyle{\cos^2\frac{x}{2} = \frac{1+\cos x}{2}}$$ $$\displaystyle{\sin^2\frac{x}{2} = \frac{1-\cos x}{2}}$$ を用いて根号を外すことができます。

【解答】

半角の公式を用いて被積分関数を変形すると

$$ \begin{aligned} \hspace{10pt}& \int_0^{2\pi} \sqrt{1 + \cos x }\hspace{1pt}dx \\[1em] & = \int_0^{2\pi} \sqrt{2 \cos^2 \frac{x}{2} }\hspace{1pt}dx \\[1em] & = \sqrt{2} \int_0^{2\pi} \sqrt{ \cos^2 \frac{x}{2} }\hspace{1pt}dx \\[1em] & = \sqrt{2} \int_0^{2\pi} \left|\cos \frac{x}{2} \right|\hspace{1pt}dx \\[1em] \end{aligned} $$

ここで、上記の積分は絶対値記号を含むため、積分範囲で場合分けをすることで絶対値記号を外します。

\({0 \leqq x \leqq \pi \hspace{2pt}}\)のとき \(\displaystyle{0 \leqq \frac{x}{2} \leqq \frac{\pi}{2} \hspace{2pt}}\)であることから\(\displaystyle{\hspace{3pt}\cos \frac{x}{2} \geqq 0\hspace{2pt}}\)となります。すなわち $${\left|\cos \frac{x}{2} \right| = \cos \frac{x}{2}}$$ となります。

また、\({\pi < x \leqq 2\pi \hspace{2pt}}\)のとき \(\displaystyle{\frac{\pi}{2} < \frac{x}{2} \leqq \pi \hspace{2pt}}\)であることから\(\displaystyle{\hspace{3pt}\cos \frac{x}{2} < 0\hspace{2pt}}\)となります。すなわち $${\left|\cos \frac{x}{2} \right| = -\cos \frac{x}{2}}$$ となります。

よって、絶対値記号を外して計算すると

$$ \begin{aligned} \hspace{10pt}& \sqrt{2} \int_0^{2\pi} \left|\cos \frac{x}{2} \right|\hspace{1pt}dx \\[1em] &=\sqrt{2} \int_0^{\pi} \cos \frac{x}{2} \hspace{1pt}dx + \sqrt{2} \int_\pi^{2\pi}\left( -\cos \frac{x}{2}\right) \hspace{1pt}dx\hspace{10pt}\\[1em] &= \sqrt{2} \left[ 2\sin \frac{x}{2} \right]_0^{\pi} +\sqrt{2} \left[-2 \sin \frac{x}{2} \right]_\pi^{2\pi}\\[1em] &= 2\sqrt{2} (1-0) - 2\sqrt{2} (0-1)\\[1em] &= 4\sqrt{2}\\[1em] \end{aligned} $$

【関連するページ】
・半角の公式

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