【解答のポイント】
問題の積分を
$$
\begin{aligned}
\hspace{10pt}& \int \tan^4 x \hspace{1pt}dx \\[1em]
&= \int \tan^2 x \left( \frac{1}{\cos^2 x}-1\right) \hspace{1pt}dx \\[1em]
&= \int \left( \tan^2 x \cdot \frac{1}{\cos^2 x}-\tan^2 x\right) \hspace{1pt}dx\hspace{10pt}\\[1em]
\end{aligned}
$$
と変形し、\({\displaystyle\int \tan^2 x \cdot \frac{1}{\cos^2 x} \hspace{1pt}dx\hspace{2pt}}\)と\(\displaystyle{\hspace{1pt}\int \tan^2 x \hspace{1pt}dx\hspace{2pt}}\)をそれぞれ計算します。
【解答】
まず、問題の積分を以下のように変形します。
$$
\begin{aligned}
\hspace{10pt}& \int \tan^4 x \hspace{1pt}dx \\[1em]
&= \int \tan^2 x \left( \frac{1}{\cos^2 x}-1\right) \hspace{1pt}dx \\[1em]
&= \int \left( \tan^2 x \cdot \frac{1}{\cos^2 x}-\tan^2 x\right) \hspace{1pt}dx\hspace{10pt}\\[1em]
\end{aligned}
$$
ここで、\(\displaystyle{\int \tan^2 x \cdot \frac{1}{\cos^2 x} \hspace{1pt}dx\hspace{2pt}}\)を計算します。
\({t = \tan x}\) とおき、両辺を \({x}\) で微分すると
$${\frac{dt}{dx} = \frac{1}{\cos^2 x} }$$
となります。すなわち\(\displaystyle{\hspace{2pt}dt = \frac{1}{\cos^2 x} \hspace{1pt} dx}\) と表せます。
変数を置き換えて積分すると、以下のようになります。
$$
\begin{aligned}
\hspace{10pt}& \int \tan^2 x \cdot \frac{1}{\cos^2 x} \hspace{1pt}dx \\[1em]
&= \int t^2\hspace{1pt}dt\\[1em]
&= \frac{1}{3}t^3 +C\\[1em]
&= \frac{1}{3}\tan^3 x +C\\[1em]
\end{aligned}
$$
次に、\(\displaystyle{\int \tan^2 x \hspace{1pt}dx\hspace{2pt}}\)を計算します。
$$
\begin{aligned}
\hspace{10pt}& \int \tan^2 x \hspace{1pt}dx \\[1em]
&= \int \left(\frac{1}{\cos^2 x}-1 \right)\hspace{1pt}dx\\[1em]
\end{aligned}
$$
ここで、\(\displaystyle{(\tan x)' = \frac{1}{\cos^2 x}\hspace{2pt}}\)から
$${\int\frac{1}{\cos^2 x} \hspace{1pt}dt = \tan x +C}$$
よって
$$
\begin{aligned}
\hspace{10pt}& \int \left(\frac{1}{\cos^2 x}-1 \right)\hspace{1pt}dx \\[1em]
&= \tan x -x +C \\[1em]
\end{aligned}
$$
以上から
$$
\begin{aligned}
\hspace{10pt}& \int \tan^4 x \hspace{1pt}dx \\[1em]
&= \int \left( \tan^2 x \cdot \frac{1}{\cos^2 x}-\tan^2 x\right) \hspace{1pt}dx \hspace{10pt} \\[1em]
&= \frac{1}{3}\tan^3 x -\tan x + x +C \\[1em]
\end{aligned}
$$
【関連するページ】
・三角関数の積分公式
・置換積分法