-光と光学に関連する用語の解説サイト-

x^2/(1+x^2)の定積分

◆第問目！

【難易度 ★★★ 】

　　次の定積分を求めよ $${\large\int_0^1 \frac{x^2}{x^2+1} \hspace{1pt}dx}$$

${\hspace{1pt}x= \tan \theta\hspace{2pt}}$と置き換えて積分します。

【解答のポイント】

被積分関数に$\displaystyle{\hspace{1pt}(x^2+a^2)\hspace{2pt}}$を含む積分は${\hspace{1pt}x=a \tan \theta\hspace{2pt}}$と置き換えて積分します。

【解答】

${x= \tan \theta}$ とおきます。

変数${x}$ の範囲に対応する変数${\theta}$ を求めると、以下のようになります。

${x}$	${0 \to 1}$
${\theta}$	$\displaystyle{0 \to \frac{\pi}{4}}$

${x= \tan \theta}$ の両辺を ${\theta}$ で微分すると、三角関数の微分公式から $${\frac{dx}{d\theta} = \frac{1}{\cos^2 \theta} }$$ となります。すなわち、$\displaystyle{dx = \frac{1}{\cos^2 \theta} \hspace{1pt} d\theta}$ と表せます。

積分を計算すると、以下のようになります。

$$ \begin{aligned} \hspace{10pt}& \int_0^1 \frac{x^2}{x^2+1} \hspace{1pt}dx \\[1em] &= \int_0^\frac{\pi}{4} \frac{\tan^2 \theta}{\tan^2 \theta +1} \cdot \frac{1}{\cos^2 \theta} \hspace{1pt} d\theta \\[1em] &= \int_0^\frac{\pi}{4} \tan^2 \theta \hspace{1pt} d\theta\\[1em] &= \int_0^\frac{\pi}{4} \left(\frac{1}{\cos^2 \theta}-1 \right) \hspace{1pt} d\theta\\[1em] &= \left[\tan \theta - \theta \right]_0^\frac{\pi}{4} \\[1em] &= 1- \frac{\pi}{4} \\[1em] \end{aligned} $$

【関連するページ】
・置換積分法

　【出題範囲】　　　【難易度】

トップページ > 数学基礎 > 極限・微積分 > 積分ランダム問題集

infomation

光学索引

あ行か行さ行た行な行は行ま行や行ら行わ行

数学索引

あ行か行さ行た行な行は行ま行や行ら行わ行

\({x}\)	\({0 \to 1}\)
\({\theta}\)	\(\displaystyle{0 \to \frac{\pi}{4}}\)