◆第問目！
問題の関数を $$ \begin{aligned} \hspace{10pt}& \int \frac{1}{\cos x} \hspace{1pt}dx \\[1em] &= \int \frac{\cos x}{\cos^2 x} \hspace{1pt}dx \\[1em] &= \int \frac{\cos x}{1-\sin^2 x} \hspace{1pt}dx\\[1em] \end{aligned} $$ と変形します。
上記の積分は \({t = \sin x}\) とおくことで、置換積分法から計算することができます。
【解答のポイント】
まず、問題の積分を $$ \begin{aligned} \hspace{10pt}& \int \frac{1}{\cos x} \hspace{1pt}dx \\[1em] &= \int \frac{\cos x}{\cos^2 x} \hspace{1pt}dx \\[1em] &= \int \frac{\cos x}{1-\sin^2 x} \hspace{1pt}dx\\[1em] \end{aligned} $$ と変形します。
上記の積分は、置換積分法から変数を置き換えて積分します。
【解答】
まず、問題の積分を以下のように変形します。 $$ \begin{aligned} \hspace{10pt}& \int \frac{1}{\cos x} \hspace{1pt}dx \\[1em] &= \int \frac{\cos x}{\cos^2 x} \hspace{1pt}dx \\[1em] &= \int \frac{\cos x}{1-\sin^2 x} \hspace{1pt}dx\\[1em] \end{aligned} $$
ここで、\({t = \sin x}\) とおき、両辺を \({x}\) で微分すると $${\frac{dt}{dx} = \cos x}$$ となります。すなわち\({\hspace{2pt}dt = \cos x\hspace{1pt} dx}\) と表せます。
変数を置き換えて積分すると、以下のようになります。
ここで、\(\displaystyle{\frac{1}{(1+t)(1-t)}\hspace{2pt}}\)を部分分数分解します。
以下の式に分解されるとして、\({\hspace{1pt}A\hspace{2pt}}\)と\({\hspace{1pt}B\hspace{2pt}}\)を求めます。 $${\frac{1}{(1+t)(1-t)} = \frac{A}{1+t} + \frac{B}{1-t}}$$ 両辺に\({\hspace{1pt}(1+t)(1-t)\hspace{2pt}}\)をかけると $${1 = (1-t)A+ (1+t)B}$$ すなわち $${1 = (-A+B)t +A+B}$$ 恒等式となるように左右の係数を比較すると $${-A+B = 0}$$ $${A+B = 1}$$ となることから $${A=\frac{1}{2},B=\frac{1}{2}}$$ したがって、 $${\frac{1}{(1+t)(1-t)} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{1+t} + \frac{1}{1-t}\right)}$$ となります。
部分分数分解をして積分すると、以下のようになります。
【関連するページ】
・三角関数の積分公式