xtan^2xの不定積分

【解答のポイント】

まず、三角関数の相互関係から $${\tan^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}-1}$$ と変形します。

次に、三角関数の積分公式 $${\int \frac{1}{\cos^2 x}\hspace{1pt}dx=\tan x +C}$$ を利用して、部分積分から計算します。

部分積分とは、2つの微分可能な関数 \({f(x),\hspace{3pt}g(x)}\) の積分に以下が成り立つことを利用して積分する方法です。

$$ \begin{aligned} &\int f'(x)\hspace{1pt} g(x)\hspace{1pt}dx \\ &\hspace{2pt}= f(x)\hspace{1pt}g(x)- \int f(x)\hspace{1pt}g'(x)\hspace{1pt}dx \\ \end{aligned} $$

【解答】

まず、三角関数の相互関係から

ここで、\(\displaystyle{f'(x)=\frac{1}{\cos^2 x}-1,\hspace{1pt}g(x)=x}\) として部分積分から積分します。

ここで、\({\displaystyle\int \tan x\hspace{1pt}dx\hspace{2pt}}\)を求めます。

三角関数の相互関係から $${\int \tan x \hspace{1pt} dx=\int \frac{\sin x}{\cos x} \hspace{1pt} dx}$$ と変形します。

被積分関数が \(\displaystyle{\frac{f'(x)}{f(x)}}\) の形式であるとき $${\int \frac{f'(x)}{f(x)}dx = \log |f(x)| + C}$$ が成り立つことから $$ \begin{aligned} \hspace{10pt}& \int \frac{\sin x}{\cos x} \hspace{1pt} dx \\[1em] &= - \int \frac{(-\sin x)}{\cos x} \hspace{1pt} dx \\[1em] &= - \int \frac{(\cos x)'}{\cos x} \hspace{1pt} dx \\[1em] &= - \log |\cos x| +C \\[1em] \end{aligned} $$ となります。

したがって

【関連するページ】
・部分積分

・tanの積分公式