【解答のポイント】
本問は部分積分により積分する問題です。
部分積分とは、2つの微分可能な関数 \({f(x),\hspace{3pt}g(x)}\) の積分に以下が成り立つことを利用して積分する方法です。
$$
\begin{aligned}
&\int f'(x)\hspace{1pt} g(x)\hspace{1pt}dx \\
&\hspace{2pt}= f(x)\hspace{1pt}g(x)- \int f(x)\hspace{1pt}g'(x)\hspace{1pt}dx \\
\end{aligned}
$$
本問では、まず\({f'(x)= 1\hspace{1pt},\hspace{3pt}g(x)= (\log x)^2}\) とおいて計算します。
その結果、\(\displaystyle{\hspace{1pt}\int \log x dx\hspace{2pt}}\)の項が現れるため、再び部分積分をして計算します。
【解答】
\({f'(x)=1,\hspace{1pt}g(x)=(\log x)^2}\) として部分積分から積分します。
$$
\begin{aligned}
\hspace{10pt}& \int (\log x)^2 \hspace{1pt}dx \\[1em]
&= \int \left(x \right)' (\log x)^2 \hspace{1pt}dx \\[1em]
&= x (\log x)^2 - \int x \cdot 2(\log x)\cdot \frac{1}{x} \hspace{1pt}dx\hspace{10pt}\\[1em]
&= x (\log x)^2 - 2 \int \log x \hspace{1pt}dx\hspace{10pt}\\[1em]
\end{aligned}
$$
ここで、\({\displaystyle\int \log x\hspace{1pt}dx\hspace{2pt}}\)を\({\hspace{1pt}f'(x)=1,\hspace{1pt}g(x)= \log x}\) として部分積分から積分します。
$$
\begin{aligned}
\hspace{10pt}& \int \log x \hspace{1pt}dx\\[1em]
&= \int \left( x \right)' \log x \hspace{1pt}dx\\[1em]
&= x \log x - \int x \cdot \frac{1}{x} \hspace{1pt}dx\hspace{10pt}\\[1em]
&= x \log x - \int 1 \hspace{1pt}dx\\[1em]
&= x \log x - x +C\\[1em]
\end{aligned}
$$
したがって
$$
\begin{aligned}
\hspace{10pt}& \int (\log x)^2 \hspace{1pt}dx \\[1em]
&= x (\log x)^2 - 2 \int \log x \hspace{1pt}dx\hspace{10pt}\\[1em]
&= x (\log x)^2 - 2x \log x +2x +C\hspace{10pt}\\[1em]
\end{aligned}
$$
【関連するページ】
・部分積分
・対数関数の積分公式