【解答のポイント】
本問は部分積分により積分する問題です。
部分積分とは、2つの微分可能な関数 \({f(x),\hspace{3pt}g(x)}\) の積分に以下が成り立つことを利用して積分する方法です。
$$
\begin{aligned}
&\int f'(x)\hspace{1pt} g(x)\hspace{1pt}dx \\
&\hspace{2pt}= f(x)\hspace{1pt}g(x)- \int f(x)\hspace{1pt}g'(x)\hspace{1pt}dx \\
\end{aligned}
$$
本問では、まず\({f'(x)= \cos 2x\hspace{1pt},\hspace{3pt}g(x)= x^2}\) とおいて計算します。
その結果、\(\displaystyle{\hspace{1pt}\int x \sin 2x dx\hspace{2pt}}\)の項が現れるため、再び部分積分をして計算します。
三角関数の積分は三角関数の積分公式から
$$
\begin{aligned}
& \int \sin x \hspace{1pt}dx = -\cos x + C \\[1em]
& \int \cos x \hspace{1pt}dx = \sin x + C \\[1em]
\end{aligned}
$$
を用います。
【解答】
\({f'(x)=\cos 2x,\hspace{1pt}g(x)=x^2}\) として部分積分から積分します。
$$
\begin{aligned}
\hspace{10pt}& \int x^2 \cos 2x \hspace{1pt}dx \\[1em]
&= \int x^2 \left(\frac{1}{2}\sin 2x \right)' \hspace{1pt}dx \\[1em]
&= \frac{1}{2} x^2 \sin 2x - \int 2x \cdot \left( \frac{1}{2}\sin 2x \right) \hspace{1pt}dx\hspace{10pt}\\[1em]
&= \frac{1}{2}x^2 \sin 2x - \int x \sin 2x \hspace{1pt}dx\\[1em]
\end{aligned}
$$
ここで、\({\displaystyle\int x \sin 2x\hspace{1pt}dx\hspace{2pt}}\)を\({\hspace{1pt}f'(x)=\sin 2x,\hspace{1pt}g(x)=x}\) として部分積分から積分します。
$$
\begin{aligned}
\hspace{10pt}& \int x \sin 2x \hspace{1pt}dx\\[1em]
&= \int x \cdot \left( -\frac{1}{2}\cos 2x \right)' \hspace{1pt}dx\\[1em]
&= -\frac{1}{2}x \cos 2x - \int 1 \times \left( -\frac{1}{2}\cos 2x \right) \hspace{1pt}dx\hspace{10pt}\\[1em]
&= -\frac{1}{2}x \cos 2x + \frac{1}{2} \int \cos 2x \hspace{1pt}dx\\[1em]
&= -\frac{1}{2}x \cos 2x + \frac{1}{4} \sin 2x +C\\[1em]
\end{aligned}
$$
したがって
$$
\begin{aligned}
\hspace{10pt}& \int x^2 \cos 2x \hspace{1pt}dx \\[1em]
&= \frac{1}{2}x^2 \sin 2x - \int x \sin 2x \hspace{1pt}dx\\[1em]
&= \frac{1}{2}x^2 \sin 2x +\frac{1}{2}x \cos 2x - \frac{1}{4} \sin 2x +C\hspace{10pt}\\[1em]
\end{aligned}
$$
【関連するページ】
・部分積分
・三角関数の積分公式