◆第問目！
\({\hspace{2pt}\log (2x+1) \hspace{2pt}}\)を『\({\hspace{1pt}1 \times \log (2x+1)\hspace{2pt}}\)』とみなして部分積分から計算します。
このとき部分積分 $$ \begin{aligned} & \int f'(x)\hspace{1pt} g(x)\hspace{1pt}dx \\ &\hspace{2pt}= f(x)\hspace{1pt}g(x)- \int f(x)\hspace{1pt}g'(x)\hspace{1pt}dx \\ \end{aligned} $$ の\(\displaystyle{\hspace{1pt} \int f(x)\hspace{1pt}g'(x)\hspace{1pt}dx\hspace{2pt}}\)の積分が複雑にならないように\({\hspace{1pt}f(x)\hspace{2pt}}\)を定めると計算が簡単になります。
本問は部分積分により積分する問題です。
部分積分とは、2つの微分可能な関数 \({f(x),\hspace{3pt}g(x)}\) の積分に以下が成り立つことを利用して積分する方法です。
$$ \begin{aligned} & \int f'(x)\hspace{1pt} g(x)\hspace{1pt}dx \\ &\hspace{2pt}= f(x)\hspace{1pt}g(x)- \int f(x)\hspace{1pt}g'(x)\hspace{1pt}dx \\ \end{aligned} $$
本問では \({\log (2x+1)}\) を 『\({\hspace{1pt}1 \times \log (2x+1)\hspace{2pt}}\)』 という 2つの関数の積とみなし\({f'(x)= 1\hspace{1pt},\hspace{3pt}g(x)=\log (2x+1)}\) とおいて計算します。
ここで、\(\displaystyle{f(x)=\frac{1}{2}(2x+1)\hspace{2pt}}\)とすることで、部分積分の\(\displaystyle{\hspace{1pt} \int f(x)\hspace{1pt}g'(x)\hspace{1pt}dx\hspace{2pt}}\)の項の計算が簡単になります。
【解答】
\({f'(x)=1\hspace{2pt},\hspace{1pt}g(x)=\log x}\) として部分積分から積分します。
【関連するページ】
・部分積分