分母に無理関数を含む関数の積分

【解答のポイント】

置換積分法から変数を置き換えて積分します。

\({\displaystyle\int \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\hspace{1pt} dx}\) のように、\({ x \hspace{2pt}}\)と無理関数の積の積分においてルートの内側が \({x}\) の2次式である場合は、\({t=x^2+1}\) と根号の中を置換して積分できます。

【解答】

\({t = x^2+1}\) とおき、両辺を \({x}\) で微分すると $${\frac{dt}{dx} = 2x}$$ となります。すなわち、\({dt\hspace{2pt} = 2x dx \hspace{2pt}}\)と表せます。

ここで、\({t = x^2+1}\) から、変数\({x}\) の範囲に対応する 変数\({t}\) の範囲を求めると、以下のようになります。

変数を置き換えて積分すると、以下のようになります。

【関連するページ】
・置換積分法