◆第問目！
\({\hspace{1pt}x=2 \tan \theta\hspace{2pt}}\)と置き換えて積分します。
【解答のポイント】
\(\displaystyle{\hspace{1pt}\int \frac{1}{x^2 + a^2} \hspace{1pt}dx\hspace{2pt}}\)の形式の積分は\({\hspace{1pt}x=a \tan \theta\hspace{2pt}}\)と置き換えることで積分できます。
【解答】
\({x= 2 \tan \theta}\) とおきます。
変数\({x}\) の範囲に対応する変数\({\theta}\) を求めると、以下のようになります。
| \({x}\) | \({0 \to 2}\) |
|---|---|
| \({\theta}\) | \(\displaystyle{0 \to \frac{\pi}{4}}\) |
\({x= 2 \tan \theta}\) の両辺を \({\theta}\) で微分すると、三角関数の微分公式から $${\frac{dx}{d\theta} = \frac{2}{\cos^2 \theta} }$$ となります。すなわち、\(\displaystyle{dx = \frac{2}{\cos^2 \theta} \hspace{1pt} d\theta}\) と表せます。
積分を計算すると、以下のようになります。
【関連するページ】
・置換積分法