◆第問目！
三角関数\({\ \sin x\hspace{2pt}}\)と\({\hspace{1pt}x\hspace{2pt}}\)の積の積分は部分積分が有効です。
【解答のポイント】
本問は部分積分により積分する問題です。
部分積分とは、2つの微分可能な関数 \({f(x),\hspace{3pt}g(x)}\) の積分に以下が成り立つことを利用して積分する方法です。
$$ \begin{aligned} &\int f'(x)\hspace{1pt} g(x)\hspace{1pt}dx \\ &\hspace{2pt}= f(x)\hspace{1pt}g(x)- \int f(x)\hspace{1pt}g'(x)\hspace{1pt}dx \\ \end{aligned} $$
本問では \({f'(x)= \sin(2x-1)\hspace{1pt},\hspace{3pt}g(x)= x}\) とおいて計算します。
三角関数の積分は三角関数の積分公式から $$ \begin{aligned} & \int \sin x \hspace{1pt}dx = -\cos x + C \\[1em] & \int \cos x \hspace{1pt}dx = \sin x + C \\[1em] \end{aligned} $$ を用います。
【解答】
\({f'(x)=\sin(2x-1),\hspace{1pt}g(x)=x}\) として部分積分から積分します。
【関連するページ】
・部分積分