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対数関数logxの不定積分

◆第問目！

【 難易度 ★★ 】
　　次の不定積分を求めよ $${\large\int \log x \hspace{1pt}dx}$$

\({\hspace{2pt}\log x \hspace{2pt}}\)を『\({\hspace{1pt}1 \times \log x\hspace{2pt}}\)』とみなして部分積分から計算します。

【解答のポイント】

本問は部分積分により積分する問題です。

部分積分とは、2つの微分可能な関数 \({f(x),\hspace{3pt}g(x)}\) の積分に以下が成り立つことを利用して積分する方法です。

$$ \begin{aligned} & \int f'(x)\hspace{1pt} g(x)\hspace{1pt}dx \\ &\hspace{2pt}= f(x)\hspace{1pt}g(x)- \int f(x)\hspace{1pt}g'(x)\hspace{1pt}dx \\ \end{aligned} $$

本問では \({\log x}\) を 『\({1 \times \log x}\)』 という 2つの関数の積とみなし\({f'(x)= 1\hspace{1pt},\hspace{3pt}g(x)=\log x}\) とおいて計算します。

【解答】

\({f'(x)=1\hspace{2pt},\hspace{1pt}g(x)=\log x}\) として部分積分から積分します。

$$ \begin{aligned} \hspace{10pt}& \int \log x \hspace{1pt}dx \\[1em] &= \int (x)' \log x \hspace{1pt}dx \\[1em] &= x \log x - \int x \cdot \frac{1}{x} \hspace{1pt}dx\\[1em] &= x \log x - \int 1 \hspace{1pt}dx\\[1em] &= x \log x - x + C\\[1em] \end{aligned} $$

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