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累乗の関数の不定積分

◆第問目！

【 難易度 ★★ 】
　　次の不定積分を求めよ $${\int (x+1)(x^2+2x+3)^9 \hspace{1pt}dx}$$

\({\hspace{2pt}t=x^2 +2x+3 \hspace{2pt}}\)と置き換えて積分します

【解答のポイント】

問題の積分は\({\hspace{1pt}f(x)=x^2 +2x + 3\hspace{2pt}}\)とすると、\({\hspace{1pt}f'(x)=2 x+2 \hspace{2pt}}\)であることから\(\displaystyle{\hspace{2pt}\int f'(x)\hspace{1pt}(f(x))^a\hspace{1pt} dx}\) の形式となります。

このような積分は、置換積分法が有効です。

【解答】

\({t=x^2 +2x + 3}\) とおき、両辺を \({x}\) で微分すると $${\frac{dt}{dx} = 2 x+2}$$ となります。すなわち、\({dt = 2 (x+1) \hspace{1pt} dx}\) と表せます。

変数を置き換えて積分すると、以下のようになります。

$$ \begin{aligned} \hspace{10pt}& \int (x+1)(x^2+2x+3)^9 \hspace{1pt}dx \\[1em] &= \frac{1}{2}\int 2(x+1)(x^2+2x+3)^9 \hspace{1pt}dx \\[1em] &= \frac{1}{2}\int t^9 \hspace{1pt}dt \\[1em] &= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{10}t^{10} +C\\[1em] &= \frac{1}{20} (x^2 +2x + 3)^{10} + C\\[1em] \end{aligned} $$

【関連するページ】
・置換積分法

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