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xe^(x^2)の不定積分

◆第問目！

【 難易度 ★★ 】
　　次の不定積分を求めよ $$\large{\int x e^{x^2 +1}\hspace{1pt}dx}$$

\({\hspace{2pt}t=x^2 +1\hspace{2pt}}\)と置き換えて積分します

【解答のポイント】

問題の積分は\({\hspace{1pt}f(x)=x^2 +1\hspace{2pt}}\)とすると、\({\hspace{1pt}f'(x)=2 x\hspace{2pt}}\)であることから\(\displaystyle{\hspace{2pt}\int f'(x)\hspace{1pt}e^{f(x)}\hspace{1pt} dx}\) の形式となります。

このような積分は、置換積分法が有効です。

【解答】

\({t=x^2 +1}\) とおき、両辺を \({x}\) で微分すると $${\frac{dt}{dx} = 2 x}$$ となります。すなわち、\({dt = 2 x \hspace{1pt} dx}\) と表せます。

変数を置き換えて積分すると、以下のようになります。

$$ \begin{aligned} \hspace{10pt}& \int x e^{x^2 +1} \hspace{1pt}dx \\[1em] &= \frac{1}{2} \int 2x e^{x^2 +1} \hspace{1pt}dx \\[1em] &= \frac{1}{2} \int e^{t} \hspace{1pt}dt \\[1em] &= \frac{1}{2} e^{t} +C\\[1em] &= \frac{1}{2} e^{x^2 +1} +C\\[1em] \end{aligned} $$

【関連するページ】
・置換積分法

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