◆第1問目！
t=cosx{\hspace{2pt}t=\cos x\hspace{2pt}}t=cosxと置き換えて積分します
【解答のポイント】
問題の積分はf(x)=cosx{\hspace{1pt}f(x)=\cos x\hspace{2pt}}f(x)=cosxとすると、f′(x)=−sinx{\hspace{1pt}f'(x)=-\sin x\hspace{2pt}}f′(x)=−sinxであることから、∫f′(x)(f(x))adx\displaystyle{\int f'(x)\hspace{1pt}(f(x))^a\hspace{1pt} dx}∫f′(x)(f(x))adx の形式となります。
このような積分は、置換積分法が有効です。
【解答】
t=cosx{t=\cos x}t=cosx とおき、両辺を x{x}x で微分すると、三角関数の微分公式から dtdx=−sinx{\frac{dt}{dx} = -\sin x}dxdt=−sinx となります。すなわち、dt=−sinxdx{dt = - \sin x \hspace{1pt} dx}dt=−sinxdx と表せます。
変数を置き換えて積分すると、以下のようになります。
【関連するページ】 ・置換積分法
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