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sinxcos^5xの不定積分

◆第問目！

【 難易度 ★★ 】
　　次の不定積分を求めよ $$\large{\int \sin x \cos^5 x \hspace{1pt}dx}$$

\({\hspace{2pt}t=\cos x\hspace{2pt}}\)と置き換えて積分します

【解答のポイント】

問題の積分は\({\hspace{1pt}f(x)=\cos x\hspace{2pt}}\)とすると、\({\hspace{1pt}f'(x)=-\sin x\hspace{2pt}}\)であることから、\(\displaystyle{\int f'(x)\hspace{1pt}(f(x))^a\hspace{1pt} dx}\) の形式となります。

このような積分は、置換積分法が有効です。

【解答】

\({t=\cos x}\) とおき、両辺を \({x}\) で微分すると、三角関数の微分公式から $${\frac{dt}{dx} = -\sin x}$$ となります。すなわち、\({dt = - \sin x \hspace{1pt} dx}\) と表せます。

変数を置き換えて積分すると、以下のようになります。

$$ \begin{aligned} \hspace{10pt}& \int \sin x \cos^5 x \hspace{1pt}dx \\[1em] &= - \int (- \sin x) \cos^5 x \hspace{1pt}dx \\[1em] &= - \int t^5 \hspace{1pt}dt \\[1em] &= -\frac{1}{6}t^6 +C\\[1em] &= -\frac{1}{6} \cos^6 x +C\\[1em] \end{aligned} $$

【関連するページ】
・置換積分法

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