指数関数を含む分数の不定積分

【解答のポイント】

被積分関数が $\displaystyle{\frac{f'(x)}{f(x)}}$ の形式であれば、 $${\int \frac{f'(x)}{f(x)}dx = \log |f(x)| + C}$$ と計算することができます。

本問は、${f(x)=e^x + e^{-x}\hspace{2pt}}$とすると、${f'(x)=e^x - e^{-x}\hspace{2pt}}$であるため、上記の公式を使用できます。

【解答】

被積分関数が $\displaystyle{\frac{f'(x)}{f(x)}}$ の形式であるとき $${\int \frac{f'(x)}{f(x)}dx = \log |f(x)| + C}$$ が成り立つことから $$\begin{aligned} \hspace{10pt}& \int \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} \hspace{1pt} dx \\[1em] &= \int \frac{(e^x + e^{-x})'}{e^x + e^{-x}} \hspace{1pt} dx \\[1em] &= \log |e^x + e^{-x}| +C \\[1em] \end{aligned}$$ となります。

【別解】

上記の公式を使わずに解く場合、置換積分法から変数を置き換えて積分します。

${t = e^x + e^{-x}}$ とおき、両辺を ${x}$ で微分すると $${\frac{dt}{dx} =e^x - e^{-x}}$$ となります。すなわち、${dt = (e^x - e^{-x})\hspace{1pt} dx}$ と表せます。

変数を置き換えて積分すると、以下のようになります。

【関連するページ】
・置換積分法