tanxの不定積分

【解答のポイント】

まず、三角関数の相互関係から\(\displaystyle{\hspace{2pt}\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}\hspace{2pt}}\)と変形します。

被積分関数が \(\displaystyle{\frac{f'(x)}{f(x)}}\) の形式であれば、 $${\int \frac{f'(x)}{f(x)}dx = \log |f(x)| + C}$$ と計算することができます。

本問は、\({f(x)=\cos x\hspace{2pt}}\)とすると、\({f'(x)=- \sin x\hspace{2pt}}\)であるため、上記の公式を使用できます。

【解答】

まず、三角関数の相互関係から $${\int \tan x \hspace{1pt} dx=\int \frac{\sin x}{\cos x} \hspace{1pt} dx}$$ と変形します。

被積分関数が \(\displaystyle{\frac{f'(x)}{f(x)}}\) の形式であるとき $${\int \frac{f'(x)}{f(x)}dx = \log |f(x)| + C}$$ が成り立つことから $$ \begin{aligned} \hspace{10pt}& \int \frac{\sin x}{\cos x} \hspace{1pt} dx \\[1em] &= - \int \frac{(-\sin x)}{\cos x} \hspace{1pt} dx \\[1em] &= - \int \frac{(\cos x)'}{\cos x} \hspace{1pt} dx \\[1em] &= - \log |\cos x| +C \\[1em] \end{aligned} $$ となります。

【別解】

上記の公式を使わずに解く場合、置換積分法から変数を置き換えて積分します。

まず、三角関数の相互関係から $${\int \tan x \hspace{1pt} dx=\int \frac{\sin x}{\cos x} \hspace{1pt} dx}$$ と変形します。

\({t = \cos x}\) とおき、両辺を \({x}\) で微分すると $${\frac{dt}{dx} = - \sin x}$$ となります。すなわち、\({dt = - \sin x\hspace{1pt} dx}\) と表せます。

変数を置き換えて積分すると、以下のようになります。

【関連するページ】
・置換積分法

・tanの積分公式