◆第問目！
分母を \({f(x)}\) としたとき、分子が \({f'(x)}\) の関係になっています
【解答のポイント】
被積分関数が \(\displaystyle{\frac{f'(x)}{f(x)}}\) の形式であれば、 $${\int \frac{f'(x)}{f(x)}dx = \log |f(x)| + C}$$ と計算することができます。
本問は、\({f(x)=x^3 - x^2 + 1\hspace{2pt}}\)とすると、\({f'(x)=3x^2 -2 x\hspace{2pt}}\)であるため、上記の公式を使用できます。
【解答】
被積分関数が \(\displaystyle{\frac{f'(x)}{f(x)}}\) の形式であるとき $${\int \frac{f'(x)}{f(x)}dx = \log |f(x)| + C}$$ が成り立つことから $$ \begin{aligned} \hspace{10pt}& \int \frac{3x^2 -2x}{x^3 - x^2 + 1} \hspace{1pt} dx \\[1em] &= \int \frac{(x^3 - x^2 + 1)'}{x^3 - x^2 + 1} \hspace{1pt} dx \\[1em] &= \log |x^3 - x^2+1| +C\\[1em] \end{aligned} $$ となります。
【別解】
上記の公式を使わずに解く場合、置換積分法から変数を置き換えて積分します。
\({t = x^3 - x^2+1}\) とおき、両辺を \({x}\) で微分すると $${\frac{dt}{dx} = 3x^2-2 x}$$ となります。すなわち、\({dt = (3x^2-2 x)\hspace{1pt} dx}\) と表せます。
変数を置き換えて積分すると、以下のようになります。
【関連するページ】
・置換積分法