◆第問目！
\({\hspace{2pt}t=\sqrt{x+1}\hspace{2pt}}\)と置き換えて積分します
【解答のポイント】
置換積分法から変数を置き換えて積分します。
\({\displaystyle\int \frac{x}{\sqrt{x+1}}\hspace{1pt} dx}\) のように、ルートの内側が \({x}\) の1次式である場合は、\({t=\sqrt{x+1}}\) と根号を含めて置換して積分できます。
【解答】
\({t = \sqrt{x+1}}\) とおくと、\({t^2=x+1}\) から \({x=t^2 -1}\) となります。
ここで、\({t = \sqrt{x+1}}\) から、変数\({x}\) の範囲に対応する 変数\({t}\) の範囲を求めると、以下のようになります。
| \({x}\) | \({0 \to 1}\) |
|---|---|
| \({t}\) | \({1 \to \sqrt{2}}\) |
\({x=t^2 -1}\) の両辺を \({t}\) で微分すると $${\frac{dx}{dt} = 2t}$$ となります。
変数を置き換えて積分すると、以下のようになります。
【関連するページ】
・置換積分法