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無理関数との積の不定積分

◆第問目！

【 難易度 ★★ 】
　　次の不定積分を求めよ $$\large{\int x\sqrt{x+3} \hspace{1pt}dx}$$

\({\hspace{2pt}t=\sqrt{x+3}\hspace{2pt}}\)と置き換えて積分します

【解答のポイント】

置換積分法から変数を置き換えて積分します。

\({\int x\sqrt{x+3}\hspace{1pt} dx}\) のように、ルートの内側が \({x}\) の1次式である場合は、\({t=\sqrt{x+3}}\) と根号を含めて置換して積分できます。

【解答】

\({t = \sqrt{x+3}}\) とおくと、\({t^2=x+3}\) から \({x=t^2 -3}\) となります。

\({x=t^2 -3}\) の両辺を \({t}\) で微分すると $${\frac{dx}{dt} = 2t}$$ となります。

変数を置き換えて積分すると、以下のようになります。

$$ \begin{aligned} \hspace{10pt}& \int x \sqrt{x+3} \hspace{1pt}dx \\[1em] &= \int (t^2 -3 ) \cdot t \cdot 2t \hspace{1pt}dt\\[1em] &= 2 \int (t^4 -3t^2) \hspace{1pt}dt\\[1em] &= 2\left( \frac{1}{5}t^5 -t^3 \right) +C\\[1em] &= \frac{2}{5}(\sqrt{x+3})^5 -2(\sqrt{x+3})^3 +C\\[1em] &= \frac{2}{5}(x+3)^2\sqrt{x+3} -2 (x+3)\sqrt{x+3} +C \hspace{10pt}\\[1em] \end{aligned} $$

【関連するページ】
・置換積分法

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