【解答のポイント】
(分子の次数) ≧ (分母の次数) の関係となっているため、分母の\({\hspace{1pt}\sqrt{x}\hspace{2pt}}\)で分子を割り、和の式に直してから積分します。
式変形には指数法則
$${x^n \div x^m = x^{n-m}}$$
$${\sqrt[n]{x^m} = x^\frac{m}{n}}$$
などを使用します。
不定積分は\({n \neq -1}\) のとき関数 \({f(x)=x^n}\) に成り立つ不定積分の公式から計算します。
$$\displaystyle{\int x^n dx= \frac{1}{n+1}x^{n+1} + C}$$
【解答】
問題の積分を計算すると
$$
\begin{aligned}
\hspace{10pt}& \int_1^2 \frac{x^4 +x }{\sqrt{x} } \hspace{1pt}dx \\[1em]
=& \int_1^2 \frac{x^4 +x }{x^{\frac{1}{2}} } \hspace{1pt}dx\\[1em]
=& \int_1^2 \left( x^{\frac{7}{2} }+ x^{\frac{1}{2}}\right) \hspace{1pt}dx\\[1em]
=& \left[\frac{1}{\frac{7}{2}+1}x^{\frac{7}{2}+1} + \frac{1}{\frac{1}{2}+1}x^{\frac{1}{2}+1} \right]_1^2\\[1em]
=& \left[\frac{2}{9}x^{\frac{9}{2}} + \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} \right]_1^2\\[1em]
=& \frac{2}{9} (2^\frac{9}{2} - 1) + \frac{2}{3} (2^\frac{3}{2} - 1)\\[1em]
=& \frac{2}{9} (16 \sqrt{2}- 1) + \frac{2}{3} (2 \sqrt{2} - 1)\\[1em]
=& \frac{44}{9}\sqrt{2}-\frac{8}{9}\\[1em]
\end{aligned}
$$
【関連するページ】
・定積分