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無理関数を分母に含む関数の不定積分

◆第1問目！

【難易度 ★★ 】

　　次の定積分を求めよ

\large{\int_1^2 \frac{x^4 +x }{\sqrt{x} } \hspace{1pt}dx}

【解答のポイント】

(分子の次数) ≧ (分母の次数) の関係となっているため、分母の ${\hspace{1pt}\sqrt{x}\hspace{2pt}}$ で分子を割り、和の式に直してから積分します。

式変形には指数法則
${x^n \div x^m = x^{n-m}}$ ${\sqrt[n]{x^m} = x^\frac{m}{n}}$ などを使用します。

不定積分は ${n \neq -1}$ のとき関数 ${f(x)=x^n}$ に成り立つ不定積分の公式から計算します。 $\displaystyle{\int x^n dx= \frac{1}{n+1}x^{n+1} + C}$

【解答】

問題の積分を計算すると

\begin{aligned} \hspace{10pt}& \int_1^2 \frac{x^4 +x }{\sqrt{x} } \hspace{1pt}dx \\[1em] =& \int_1^2 \frac{x^4 +x }{x^{\frac{1}{2}} } \hspace{1pt}dx\\[1em] =& \int_1^2 \left( x^{\frac{7}{2} }+ x^{\frac{1}{2}}\right) \hspace{1pt}dx\\[1em] =& \left[\frac{1}{\frac{7}{2}+1}x^{\frac{7}{2}+1} + \frac{1}{\frac{1}{2}+1}x^{\frac{1}{2}+1} \right]_1^2\\[1em] =& \left[\frac{2}{9}x^{\frac{9}{2}} + \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} \right]_1^2\\[1em] =& \frac{2}{9} (2^\frac{9}{2} - 1) + \frac{2}{3} (2^\frac{3}{2} - 1)\\[1em] =& \frac{2}{9} (16 \sqrt{2}- 1) + \frac{2}{3} (2 \sqrt{2} - 1)\\[1em] =& \frac{44}{9}\sqrt{2}-\frac{8}{9}\\[1em] \end{aligned}

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