【解答のポイント】
本問は分母に無理関数が含まれる関数を積分する問題です。
このような問題は有理化して積分します。
不定積分は\({n \neq -1}\) のとき関数 \({f(x)=x^n}\) に成り立つ不定積分の公式から計算します。
$$\displaystyle{\int x^n dx= \frac{1}{n+1}x^{n+1} + C}$$
【解答】
問題の積分を計算すると以下のようになります。
$$
\begin{aligned}
\hspace{10pt}& \int \frac{1}{\sqrt{x+2} -\sqrt{x}} \hspace{1pt}dx \\[1em]
& = \int \frac{\sqrt{x+2}+\sqrt{x}}{(\sqrt{x+2} -\sqrt{x})(\sqrt{x+2}+\sqrt{x})} \hspace{1pt}dx\\[1em]
& = \int \frac{\sqrt{x+2}+\sqrt{x}}{x+2 - x} \hspace{1pt}dx\\[1em]
& = \frac{1}{2}\int (\sqrt{x+2}+\sqrt{x})\hspace{1pt}dx\\[1em]
& = \frac{1}{2}\int (x+2)^{\frac{1}{2}}\hspace{1pt}dx+\frac{1}{2}\int x^{\frac{1}{2}}\hspace{1pt}dx\\[1em]
& =\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{\frac{1}{2}+1}(x+2)^{\frac{1}{2}+1} + \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{\frac{1}{2}+1} x^{\frac{1}{2}+1}+C \hspace{10pt}\\[1em]
& = \frac{1}{3}(x+2)^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{3} x^{\frac{3}{2}}+C \\[1em]
& = \frac{1}{3}(x+2)\sqrt{x+2} + \frac{1}{3} x \sqrt{x}+C \\[0.5em]
\end{aligned}
$$
【関連するページ】
・不定積分