【解答のポイント】
(分子の次数) ≧ (分母の次数) の関係となっているため、分母の\({\hspace{1pt}x^2\hspace{2pt}}\)で分子を割り、和の式に直してから積分します。
不定積分は\({n \neq -1}\) のとき関数 \({f(x)=x^n}\) に成り立つ不定積分の公式から計算します。
$$\displaystyle{\int x^n dx= \frac{1}{n+1}x^{n+1} + C}$$
また、\(\displaystyle{\hspace{1pt}\frac{1}{x}\hspace{2pt}}\)の不定積分は、以下の公式から計算します。
$$\displaystyle{\int \frac{1}{x} dx= \log |x| + C}$$
【解答】
問題の積分を計算すると以下のようになります。
$$
\begin{aligned}
& \int \frac{x^3+4x-1}{x^2}\hspace{1pt}dx\\[0.5em]
\hspace{10pt}& = \int \left(x+\frac{4}{x} -\frac{1}{x^2}\right)\hspace{1pt}dx\\[0.5em]
& = \int x \hspace{1pt}dx + 4 \int \frac{1}{x} \hspace{1pt}dx - \int x^{-2}\hspace{1pt}dx\\[0.5em]
& = \frac{1}{1+1}x^{1+1} + 4 \log|x| - \frac{1}{-2+1}x^{-2+1} +C \hspace{10pt}\\[0.5em]
& = \frac{1}{2}x^{2} + 4 \log|x| + x^{-1}+ C \\[0.5em]
& = \frac{1}{2}x^{2} + 4 \log|x| + \frac{1}{x}+ C \\[0.5em]
\end{aligned}
$$
【関連するページ】
・不定積分