放物線とx軸で囲まれた面積を直線で1:5に分割する条件

【解答のポイント】

放物線\(\hspace{2pt}y = -x^2 +5x\hspace{2pt}\)と直線\(\hspace{1pt}y = mx\hspace{1pt}\)によって囲まれる面積を\(\hspace{1pt}S\hspace{1pt}\)とし、その面積のうち直線の上側を\(\hspace{1pt}S_1\)、下側を\(\hspace{1pt}S_2\hspace{1pt}\)とします。

ここで、面積\(S_2\hspace{1pt}\)は積分から面積を求めると計算量が多くなるため、\(\hspace{1pt}S_1 , S_2\hspace{1pt}\)を\(\hspace{1pt}1:5\hspace{1pt}\)にする条件を $${S = 6 S_1}$$ という式から考えると計算が楽になります。

また、積分の計算には1/6公式

を用いると簡単に計算できます。

【解答】
まず、放物線\(\hspace{2pt}y = -x^2 +5x\hspace{2pt}\)と直線\(\hspace{1pt}y = mx\hspace{1pt}\)が\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)つの異なる交点を持つ条件を求めます。

\(\hspace{2pt}y = -x^2 +5x\hspace{2pt}\)と\(\hspace{1pt}y = mx\hspace{1pt}\)の交点の\(\hspace{1pt}x\hspace{1pt}\)座標は $$\begin{aligned} -x^2 +5x & = mx \\[0.5em] x^2 -5x +mx &= 0\\[0.5em] x \{x - (5-m)\} &= 0\\[0.5em] \end{aligned} $$

よって、\(x = 0 , 5-m\hspace{1pt}\)となります。

ここで、放物線と直線が\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)つの異なる交点を持つためには、放物線と\(\hspace{1pt}x\hspace{1pt}\)軸の交点\(\hspace{1pt}x = 0,5\hspace{1pt}\)の範囲に放物線と直線の交点があればよいので $$ 0 < 5-m < 5 $$ すなわち $${0 < m < 5}$$ が定数\(\hspace{1pt}m\hspace{1pt}\)の条件となります。

ここで、放物線と\(\hspace{1pt}x\hspace{1pt}\)軸に囲まれた面積\(\hspace{1pt}S=S_1 + S_2\hspace{1pt}\)は1/6公式

から求めると

また、放物線と直線\(\hspace{1pt}y = mx\hspace{1pt}\)に囲まれた面積\(\hspace{1pt}S_1\hspace{1pt}\)は

したがって $${ 6 S_1} = S $$ であることから $$ \begin{aligned} 6 \cdot \frac{1}{6} (5-m)^3 & = \frac{125}{6}\\[1em] (5-m)^3 & = \frac{125}{6} \\[1em] 5-m =& \frac{5}{\sqrt[3]{ 6 }}\\[1em] m =& 5 - \frac{5}{\sqrt[3]{ 6 }} \\[1em] =& 5 \left(1 - \frac{1}{\sqrt[3]{ 6 }} \right) \\[1em] \end{aligned} $$

以上から、放物線\(\hspace{2pt}y = -x^2 +5x\hspace{2pt}\)と\(\hspace{1pt}x\hspace{1pt}\)軸で囲まれた部分の面積を直線\(\hspace{1pt}y = mx\hspace{1pt}\)で分けたときに直線の上側と下側を\(\hspace{1pt}1 : 5\hspace{1pt}\)に分けるときの定数\(\hspace{1pt}m\hspace{1pt}\)は $${m = 5 \left(1 - \frac{1}{\sqrt[3]{ 6 }} \right)}$$ となります。

【関連するページ】
・定積分

・1/6公式