2つの接する放物線と直線に囲まれた面積

【解答のポイント】

まず、2つの放物線の交点を調べます。

次にグラフを描いて関数の上下関係を調べてから積分します。

放物線\({C_1}\) : \({\hspace{2pt}f(x)=a_1x^2+b_1x+c_1}\) と 放物線\({C_2}\) : \({\hspace{2pt}g(x)=a_2x^2+b_2x+c_2}\) が \({x=\alpha\hspace{1pt}}\) で接点を持つとき、\({2\hspace{1pt}}\)つの放物線 と 直線\({\hspace{1pt}x=\beta}\) に囲まれる面積を求める1/3公式 $$\displaystyle{S = \frac{|a_1-a_2|}{3}(\beta-\alpha)^3}$$ を用いると簡単に計算ができます。(別解に記載)

【解答】

まず、\({y=-2x^2+2}\) と \({y=x^2+6x + 5}\) の交点を求めます。

よって、交点は \({x=-1}\) であり、重解となります。
つまり、放物線\({C_1, C_2}\) は \({x=-1}\) で接することが分かります。

求める放物線\({C_1, C_2}\) と 直線\({\hspace{1pt}x=2\hspace{2pt}}\)によって囲まれる面積\({\hspace{1pt}S\hspace{2pt}}\)を図示すると、以下のようになります。

上図から \({-1 \leqq x \leqq 2}\) において、\({y=x^2+6x + 5}\) は \({y=-2x^2+2}\) の上側にあることから、面積\({\hspace{1pt}S\hspace{2pt}}\)は以下のように求められます。

【別解】

接する\({\hspace{2pt}2\hspace{1pt}}\)つの放物線と直線に囲まれた面積を求める1/3公式 $${S = \frac{|a_1-a_2|}{3}(\beta-\alpha)^3}$$ において、二次の係数が \({a_1=-2\hspace{2pt}}\), \({a_2=1}\), 接点の\({x\hspace{1pt}}\)座標が \({\alpha=-1}\), 直線の式の\({x\hspace{1pt}}\)座標が \({\hspace{1pt}\beta=2}\) であることから面積は $$ \begin{aligned} S & = \frac{|-2-1|}{3}(2-(-1))^3 \\[0.5em] & = 27 \\[0.5em] \end{aligned} $$ と求められます。

【関連するページ】
・定積分

・1/3公式