2つの放物線に囲まれた面積

【解答のポイント】

面積を求める問題は、まずグラフを描いて関数の上下関係を調べてから積分します。

また、2つの放物線 \({f(x)= a_1 x^2 + b_1 x + c_1}\) と \({g(x)=a_2 x^2 + b_2 x + c_2}\) の交点を \({x=\alpha,\hspace{2pt}\beta\hspace{3pt}}\) (\({\alpha < \beta\hspace{1pt}}\)) とするときに成り立つ1/6公式

を利用すると簡単に計算することができます。(別解に記載)

【解答】

まず、2つの放物線 \({y=2x^2-5x-5}\) と \({y=-2x^2+3x+7}\) の交点を求めます。

つまり、交点は \({x=-1\hspace{1pt},\hspace{1pt}3}\) となります。

2つの放物線 \({y=2x^2-5x-5}\) と \({y=-2x^2+3x+7}\) に囲まれた面積を図示すると、以下のようになります。

上図から、\({-1 \leqq x \leqq 3\hspace{2pt}}\)において \({y=-2x^2+3x+7}\) は \({y=2x^2-5x-5}\) の上側に位置するため、面積\({\hspace{1pt}S\hspace{2pt}}\)は以下のように求められます。

【別解】

2つの放物線 \({f(x)= a_1 x^2 + b_1 x + c_1}\) と \({g(x)=a_2 x^2 + b_2 x + c_2}\) の交点を \({x=\alpha,\hspace{2pt}\beta\hspace{3pt}}\) (\({\alpha < \beta\hspace{1pt}}\)) とするときに成り立つ1/6公式

から求めます。

求める面積\({\hspace{1pt}S}\) は、放物線の二次の係数の差が \({a_1-a_2=2-(-2)=4}\)、交点が \({x=-1\hspace{1pt},\hspace{1pt}3}\) であることから $$ \begin{aligned} S &= \frac{|2-(-2)|}{6}(3-(-1))^3 \\[1em] & = \frac{128}{3}\\[1em] \end{aligned} $$ と求められます。

【関連するページ】
・定積分

・1/6公式