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x軸と放物線に囲まれた面積
◆第問目！
【 難易度 ★ 】
放物線\({\hspace{2pt}y=x^2-2x-8\hspace{2pt}}\)と\({\hspace{2pt}x}\)軸に囲まれた面積\({S\hspace{2pt}}\)を求めよ
面積を求める問題は、グラフを描いて関数の上下関係を調べてから積分します。
1/6公式
$${\int_\alpha^\beta (x-\alpha)(x-\beta)\hspace{1pt}dx = -\frac{1}{6}(\beta-\alpha)^3}$$
を利用すると計算が簡単になります。
【解答のポイント】
面積を求める問題は、まずグラフを描いて関数の上下関係を調べてから積分します。
$${\int_\alpha^\beta (x-\alpha)(x-\beta)\hspace{1pt}dx = -\frac{1}{6}(\beta-\alpha)^3}$$
が利用できるように因数分解すると簡単に計算することができます。(別解に記載)
【解答】
\({y=x^2-2x-8\hspace{3pt}}\)を因数分解すると
$$x^2-2x-8= (x+2)(x-4) \\[1em]$$
となります。したがって、放物線のグラフを描くと以下のようになります。
上図から、\({-2 \leqq x \leqq 4\hspace{2pt}}\)において放物線は\({\hspace{1pt}x}\)軸の下側に位置するため、面積\({\hspace{1pt}S\hspace{2pt}}\)は以下のように求められます。
$$
\begin{aligned}
\hspace{10pt}& \int_{-2}^{4} -(x^2-2x-8)\hspace{1pt} dx\\[1em]
& \int_{-2}^{4} (-x^2+2x+8)\hspace{1pt} dx\\[1em]
&=\left[ -\frac{1}{3}x^3 + x^2+ 8x \right]_{-2}^{4} \\[1em]
&= -\frac{1}{3}(4^3-(-2)^3) + 4^2-(-2)^2 + 8(4-(-2))\hspace{10pt} \\[1em]
&= -24 +12 + 48 \\[1em]
&= 36\\[1em]
\end{aligned}
$$
【別解】
$${\int_\alpha^\beta (x-\alpha)(x-\beta)\hspace{1pt}dx = -\frac{1}{6}(\beta-\alpha)^3}$$
から求めると
$$
\begin{aligned}
& \int_{-2}^{4} -(x^2-2x-8)\hspace{1pt} dx\\[1em]
=& -\int_{-2}^{4} (x+2)(x-4)\hspace{1pt} dx\\[1em]
&=\frac{(4-(-2))^3}{6} \\[1em]
&= 36\\[1em]
\end{aligned}
$$
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