【解答のポイント】
関数 \({f(x)}\) の不定積分を \({F(x)}\) とするとき、2つの実数 \({a,b}\) で定義される区間 \({a \leqq x \leqq b}\) における定積分は以下のように計算します。
$$
\begin{aligned}
\hspace{10pt}\int_a^{b} f(x)dx & = \left[ f(x) \right]_a^b \\[1em]
& = F(b)-F(a)\\[1em]
\end{aligned}
$$
この問題は1/6公式
$${\int_\alpha^\beta (x-\alpha)(x-\beta)\hspace{1pt}dx = -\frac{1}{6}(\beta-\alpha)^3}$$
を利用することで簡単に計算することができます。
【解答】
問題の積分を計算すると
$$
\begin{aligned}
\hspace{10pt}& \int_2^4 (2x-4)(x-4) \hspace{1pt}dx\\[1em]
& = 2 \int_2^4 (x-2)(x-4) \hspace{1pt}dx\\[1em]
& = 2 \int_2^4 (x^2 -6x +8) \hspace{1pt}dx\\[1em]
&= 2 \left[\frac{1}{3}x^3 -3 x^2 +8x \right]_2^4 \\[1em]
& = 2 \left( \frac{1}{3}(4^3-2^3) -3(4^2-2^2) +8 (4-2) \right)\hspace{10pt}\\[1.0em]
& = 2 \left( \frac{56}{3} -36 + 16 \right)\\[1.0em]
& =- \frac{8}{3} \\[1.0em]
\end{aligned}
$$
【別解】
問題の積分を計算すると1/6公式
$${\int_\alpha^\beta (x-\alpha)(x-\beta)\hspace{1pt}dx = -\frac{1}{6}(\beta-\alpha)^3}$$
から求めると
$$
\begin{aligned}
\hspace{10pt}& \int_2^4 (2x-4)(x-4) \hspace{1pt}dx\\[1em]
& = 2 \int_2^4 (x-2)(x-4) \hspace{1pt}dx\\[1em]
& = -\frac{2}{6}(4-2)^3 \\[1em]
& = -\frac{8}{3} \\[1em]
\end{aligned}
$$
【関連するページ】
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