【解答のポイント】
問題の不定積分は\({n \neq -1}\) のとき関数 \({f(x)=x^n}\) に成り立つ不定積分の公式から計算します。
$$\displaystyle{\int x^n dx= \frac{1}{n+1}x^{n+1} + C}$$
積分の変数が\({\hspace{1pt}t\hspace{2pt}}\)であるため、\({x,a,b\hspace{2pt}}\)を定数として積分します。
【解答】
問題の積分を計算すると
$$
\begin{aligned}
\hspace{10pt}& \int (x-at)(x+bt)\hspace{1pt}dt\\[1em]
& = \int (- ab t^2 +(b -a)xt+x^2 ) \hspace{1pt}dt\\[1em]
&= -ab \int t^2 \hspace{1pt}dt +(b-a)x \int t \hspace{1pt}dt +x^2 \int 1 \hspace{1pt}dt \hspace{10pt}\\[1em]
& = -ab \cdot \frac{1}{3}t^{3} +(b-a) x \cdot \frac{1}{2}t^{2} +x^2 t +C \\[1.0em]
& = - \frac{ab}{3}t^{3} + \frac{(b-a) x }{2}t^{2} +x^2 t +C \\[1.0em]
\end{aligned}
$$
【関連するページ】
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