tの多項式の不定積分

【解答のポイント】

問題の不定積分は\({n \neq -1}\) のとき関数 \({f(x)=x^n}\) に成り立つ不定積分の公式から計算します。 $$\displaystyle{\int x^n dx= \frac{1}{n+1}x^{n+1} + C}$$

積分の変数に\({\hspace{1pt}t\hspace{2pt}}\)が使われていますが、\({x\hspace{2pt}}\)のときと同様に計算します。

【解答】

問題の積分を計算すると

$$ \begin{aligned} & \int (4t^3 -6 t^2 +8t) \hspace{1pt}dt\\[1em] & 4 \int t^3 \hspace{1pt}dt -6 \int t^2 \hspace{1pt}dt + 8\int t \hspace{1pt}dt \\[1em] & = 4 \cdot \frac{1}{4}t^{4} - 6 \cdot \frac{1}{3}t^{3} + 8 \cdot \frac{1}{2}t^2 +C \\[1.0em] & = t^{4} - 2 t^{3} + 4 t^2 +C \\ \end{aligned} $$

【関連するページ】
・不定積分