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楕円の回転体の体積
◆第問目！
【 難易度 ★★ 】
\(\displaystyle{\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\hspace{2pt}}\)\({(\hspace{1pt}a,b>0\hspace{2pt}\hspace{1pt})}\) に囲まれた部分を\({\hspace{1pt}x}\)軸の周りに回転させた回転体の体積を求めよ
楕円の回転体の体積を求める問題です。
区間\({\hspace{1pt}[a,b]\hspace{2pt}}\)において関数\({\hspace{1pt}f(x)\hspace{2pt}}\)と\({\hspace{1pt}x=a,x=b\hspace{2pt}}\)によって囲まれる部分を\({\hspace{1pt}x\hspace{2pt}}\)軸の周りに回転させた回転体の体積は
$$\hspace{10pt}{V= \pi \int_a^b (f(x))^2 \hspace{1pt}dx }\hspace{10pt}$$
と求められます。
【解答のポイント】
本問は楕円の回転体の体積を求める問題です。
区間\({\hspace{1pt}[a,b]\hspace{2pt}}\)において関数\({\hspace{1pt}f(x)\hspace{2pt}}\)と\({\hspace{1pt}x=a,x=b\hspace{2pt}}\)によって囲まれる部分を\({\hspace{1pt}x\hspace{2pt}}\)軸の周りに回転させた回転体の体積は
$$\hspace{10pt}{V= \pi \int_a^b (f(x))^2 \hspace{1pt}dx }\hspace{10pt}$$
と求められます。
【解答】
問題の楕円を図に描くと以下のようになります。
上図から、楕円を\({\hspace{1pt}x}\)軸の周りに回転させた回転体の体積は以下のように求められます。
$$
\begin{aligned}
\hspace{10pt}& \pi \int_{-a}^{a} y^2 \hspace{1pt}dx \\[1em]
& = 2 \pi \int_{0}^{a} \left(b^2 - \frac{b^2}{a^2}x^2 \right) \hspace{1pt}dx\\[1em]
& = 2 \pi b^2\left[x - \frac{1}{3a^2}x^3 \right]_{0}^{a} \\[1em]
& = 2 \pi b^2 \left(a - \frac{1}{3a^2} \times a^3 \right) \\[1em]
& = 2 \pi b^2 \left(a - \frac{a}{3} \right) \\[1em]
& = \frac{4}{3} \pi a b^2 \\[1em]
\end{aligned}
$$
と求められます。
【出題範囲】 【難易度】