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分母が三次の分数関数の不定積分

◆第問目！

【 難易度 ★★ 】
　　次の不定積分を求めよ $${\large\int \frac{1}{(x-1)^2(x+1)} \hspace{1pt}dx}$$

(分子の次数) < (分母の次数) の関係となっているため、部分分数分解から分母の次数を小さくして積分します。

\(\displaystyle\frac{px^2+qx+r}{(ax+b)^2(cx+d)}\hspace{1pt}\hspace{2pt}\)と表される分数関数は

$$\displaystyle{\hspace{10pt}\frac{px^2+qx+r}{(ax+b)^2(cx+d)}= \frac{A}{ax+b}+\frac{B}{(ax+b)^2}+\frac{C}{cx+d}\hspace{10pt}}$$

となるように部分分数分解し、分母の次数を小さくします

【解答のポイント】

(分子の次数) < (分母の次数) の関係となっているため、部分分数分解から分母の次数を小さくして積分します。

【解答】

\(\displaystyle{\frac{1}{(x-1)^2(x+1)}\hspace{2pt}}\)を部分分数分解します。

以下のように分解されるとして、定数\({\hspace{1pt}A\hspace{2pt}}\)と\({\hspace{1pt}B\hspace{2pt}}\)と\({\hspace{1pt}C\hspace{2pt}}\)を求めます。

$$\displaystyle{\hspace{10pt}\frac{1}{(x-1)^2(x+1)}= \frac{A}{x-1}+\frac{B}{(x-1)^2}+\frac{C}{x+1}\hspace{10pt}}$$

両辺に\({\hspace{1pt}(x-1)^2(x+1)\hspace{2pt}}\)をかけると

$${\hspace{10pt}1 =(x-1)(x+1)A+ (x+1)B + (x-1)^2 C \hspace{10pt}}$$

すなわち

$$ \begin{aligned} \hspace{10pt} 1 &= (x^2-1)A + (x+1)B + (x^2 -2x +1) C \hspace{10pt} \\[1em] &= (A+C)x^2 + (B-2C)x -A + B + C \\[1em] \end{aligned} $$

上式が恒等式となるように左右の係数を比較すると $$ \begin{aligned} A+C &= 0 \\[0.5em] B-2C&=0 \\[0.5em] -A + B + C&= 1 \\[0.5em] \end{aligned} $$ となることから $${A=-\frac{1}{4}\hspace{1pt},\hspace{1pt}B=\frac{1}{2}\hspace{1pt},\hspace{1pt}C=\frac{1}{4}}$$ となります。したがって

$${\hspace{10pt}\frac{1}{(x-1)^2(x+1)} = \frac{1}{4}\left(-\frac{1}{x-1} + \frac{2}{(x-1)^2} + \frac{1}{x+1}\right)\hspace{10pt}}$$

となります。

部分分数分解をして積分すると、以下のようになります。

$$ \begin{aligned} \hspace{10pt}& \int \frac{1}{(x-1)^2(x+1)}\hspace{1pt} dt \\[1em] &= \frac{1}{4}\int \left(-\frac{1}{x-1} + \frac{2}{(x-1)^2} + \frac{1}{x+1}\right) \hspace{1pt} dt\\[1em] &= \frac{1}{4} (-\log |x - 1| -\frac{2}{x-1} + \log |x+1 | )+C \hspace{10pt}\\[1em] &= \frac{1}{4}\log \left|\frac{x+1 }{x-1} \right| -\frac{1}{2(x-1)}+C\\[1em] \end{aligned} $$

　【出題範囲】　　　【難易度】


　



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