◆第問目！
(分子の次数) < (分母の次数) の関係となっているため、部分分数分解から分母の次数を小さくして積分します。
\(\displaystyle\frac{px+q}{(ax+b)(cx+d)}\hspace{1pt}\hspace{2pt}\)と表される分数関数は
となるように部分分数分解し、分母の次数を小さくします
【解答のポイント】
(分子の次数) < (分母の次数) の関係となっているため、部分分数分解から分母の次数を小さくして積分します。
【解答】
被積分関数の分母を因数分解すると
となります。
\(\displaystyle{\frac{1}{(x+1)(x-1)}\hspace{2pt}}\)を部分分数分解します。
以下のように分解されるとして、定数\({\hspace{1pt}A\hspace{2pt}}\)と\({\hspace{1pt}B\hspace{2pt}}\)を求めます。 $${\frac{1}{(x+1)(x-1)} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{x-1}}$$ 両辺に\({\hspace{1pt}(x+1)(x-1)\hspace{2pt}}\)をかけると $${1 = (x-1)A+ (x+1)B}$$ すなわち $${1 = (A+B)x -A+B}$$ 上式が恒等式となるように左右の係数を比較すると $${A+B = 0}$$ $${-A+B = 1}$$ となることから $${A=-\frac{1}{2},B=\frac{1}{2}}$$ となります。したがって
となります。
部分分数分解をして積分すると、以下のようになります。