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定数aを含む定積分

◆第問目！

【 難易度 ★ 】
　　次の定積分を求めよ。ただし、\({a>0\hspace{2pt}}\)とする $$\large {\int_{0}^{1} |x^2-ax| dx }$$

被積分関数に絶対値記号を含む場合、絶対値を外して積分する必要があります。

絶対値記号は、中身が正か負かで場合分けをすることで外すことができます。 $$|x| = \begin{dcases} x & ( x \geqq 0 ) \\ -x & ( x \lt 0 ) \end{dcases} $$

本問は被積分関数に定数\({\hspace{1pt}a\hspace{2pt}}\)が含まれているため、\({a\hspace{2pt}}\)の値によって場合分けして解きます。

被積分関数の\({\hspace{1pt}y=x^2-ax\hspace{2pt}}\)を因数分解し、グラフを描くことで符号の変化を調べます。

【解答のポイント】

絶対値記号を含む場合、絶対値記号を外して積分する必要があります。

絶対値記号は、中身が正か負かで場合分けをすることで外すことができます。 $$|x| = \begin{dcases} x & ( x \geqq 0 ) \\ -x & ( x \lt 0 ) \end{dcases} $$

問題を解くときは、まず\({\hspace{1pt}y=x^2-ax\hspace{2pt}}\)を因数分解し、グラフを描くことで符号が変化するイメージがしやすくなります。

【解答】

まず、被積分関数を因数分解すると

$$ \begin{aligned} \hspace{10pt}& \int_{0}^{1} |x^2 - ax|dx\\[1em] &= \int_{0}^{1} |x(x-a)|dx\\[1em] \end{aligned} $$

となります。

つまり、関数\({\hspace{1pt}y=x^2-ax\hspace{2pt}}\)は\({\hspace{1pt}x\hspace{2pt}}\)軸と\({\hspace{1pt}x=0,a\hspace{2pt}}\)で交点を持ちます。

ここで、積分区間が\({\hspace{1pt}[0,1]\hspace{2pt}}\)であることから、積分区間に\({\hspace{1pt}x=a\hspace{2pt}}\)が含まれる \({0 < a < 1\hspace{2pt}}\)のときと、積分区間の外側に\({\hspace{1pt}x=a\hspace{2pt}}\)が位置する \({ a \geqq 1\hspace{2pt}}\)のときで場合分けすることができます。 定数を含む定積分の計算

上記のグラフから、積分区間\({\hspace{1pt}[0,1]\hspace{2pt}}\)における\({\hspace{1pt}y=x^2-ax\hspace{2pt}}\)の符号を調べ、絶対値記号を外します。

【\({0 < a < 1\hspace{2pt}}\)の場合】

\({0 \leqq x \leqq a\hspace{1pt}}\)のとき $${|x(x-a)|=-x(x-a)}$$ \({a \leqq x \leqq 1\hspace{1pt}}\)のとき $${|x(x-a)|=x(x-a)}$$
であることから

$$ \begin{aligned} \hspace{10pt}& \int_{0}^{1} x |x -a|\hspace{1pt}dx\\[1em] &= \int_{0}^{a} -x (x -a)\hspace{1pt}dx +\int_{a}^{1} x (x -a)\hspace{1pt}dx \\[1em] &= \int_{0}^{a} (-x^2 +ax) \hspace{1pt}dx +\int_{a}^{1} (x^2-ax)\hspace{1pt}dx \\[1em] & = \left[-\frac{1}{3}x^3 + \frac{a}{2}x^2 \right]_0^a + \left[\frac{1}{3}x^3 - \frac{a}{2}x^2 \right]_a^1 \\[1.0em] & = -\frac{1}{3}\cdot a^3 +\frac{a}{2}\cdot a^2 + \frac{1}{3}(1^3-a^3) -\frac{a}{2}(1^2-a^2) \hspace{10pt}\\[1.0em] & = -\frac{a^3}{3} +\frac{a^3}{2} + \frac{1}{3}(1-a^3) -\frac{a}{2}(1-a^2)\\[1.0em] & = \frac{a^3}{3} -\frac{a}{2}+\frac{1}{3} \end{aligned} $$

【\({a \geqq 1\hspace{2pt}}\)の場合】

\({0 \leqq x \leqq 1\hspace{1pt}}\)のとき $${|x(x-a)|=-x(x-a)}$$ であることから

$$ \begin{aligned} \hspace{10pt}& \int_{0}^{1} |x(x -a)|\hspace{1pt}dx\\[1em] &= \int_{0}^{1} -x (x -a)\hspace{1pt}dx \\[1em] &= \int_{0}^{1} (-x^2 +ax) \hspace{1pt}dx \\[1em] & = \left[-\frac{1}{3}x^3 + \frac{a}{2}x^2 \right]_0^1 \\[1.0em] & = -\frac{1}{3}\cdot 1^3 +\frac{a}{2}\cdot 1^2\hspace{10pt}\\[1.0em] & = \frac{a}{2} -\frac{1}{3} \\[1.0em] \end{aligned} $$

以上から
\({0 < a < 1\hspace{2pt}}\)のとき $${ \int_{0}^{1} |x^2 - ax|dx= \frac{a^3}{3} -\frac{a}{2}+\frac{1}{3}}$$ \({a \geqq 1\hspace{2pt}}\)のとき $${ \int_{0}^{1} |x^2 - ax|dx= \frac{a}{2} -\frac{1}{3}}$$

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