【解答のポイント】
関数 \({f(x)}\) の不定積分を \({F(x)}\) とするとき、2つの実数 \({a,b}\) で定義される区間 \({a \leqq x \leqq b}\) における定積分は以下のように計算します。
$$
\begin{aligned}
\hspace{10pt}\int_a^{b} f(x)dx & = \left[ f(x) \right]_a^b \\[1em]
& = F(b)-F(a)\\[1em]
\end{aligned}
$$
本問では、以下のような定積分の性質から積分を変形して計算を簡単にできます。
$$
\begin{aligned}
&
\hspace{10pt}\int_b^{a} f(x)\hspace{1pt}dx = -\int_a^{b} f(x)\hspace{1pt}dx \\[0.7em]
&
\hspace{10pt}\int_a^{b} f(x) \hspace{1pt}dx = \int_a^{c} f(x) \hspace{1pt}dx + \int_c^{b} f(x) \hspace{1pt}dx \hspace{10pt} \\
\end{aligned}
$$
【解答】
$$
\begin{aligned}
\hspace{10pt}& \int_{-1}^{1} (3x^2+x)dx - \int_{3}^{1} (3x^2+x)dx\\[1em]
&= \int_{-1}^{1} (3x^2+x)dx + \int_{1}^{3} (3x^2+x)dx \\[1em]
&= \int_{-1}^{3} (3x^2+x)dx \\[1em]
& = \left[x^3 + \frac{1}{2}x^2 \right]_{-1}^3 \\[1.0em]
& = 3^3-(-1)^3 + \frac{1}{2}(3^2-(-1)^2) \hspace{10pt}\\[1.0em]
& = 32
\end{aligned}
$$
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