【解答のポイント】
関数 \({f(x)}\) の不定積分を \({F(x)}\) とするとき、2つの実数 \({a,b}\) で定義される区間 \({a \leqq x \leqq b}\) における定積分は以下のように計算します。
$$
\begin{aligned}
\hspace{10pt}\int_a^{b} f(x)dx & = \left[ f(x) \right]_a^b \\[1em]
& = F(b)-F(a)\\[1em]
\end{aligned}
$$
絶対値記号を含む場合、絶対値記号を外して積分する必要があります。
【解答】
\({0 \leqq x \leqq 1\hspace{1pt}}\)のとき\({\hspace{1pt} |x-1|=-x+1}\)
\({1 \leqq x \leqq 2\hspace{1pt}}\)のとき\({\hspace{1pt}|x-1|=x-1 }\)
であることから
$$
\begin{aligned}
\hspace{10pt}& \int_{0}^{2} x |x -1|\hspace{1pt}dx\\[1em]
&= \int_{0}^{1} x(-x+1)\hspace{1pt}dx + \int_{1}^{2} x(x-1)\hspace{1pt}dx \\[1em]
&= \int_{0}^{1} (-x^2+x)\hspace{1pt}dx + \int_{1}^{2} (x^2-x)\hspace{1pt}dx \\[1em]
& = \left[-\frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 \right]_0^1 + \left[\frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 \right]_1^2 \\[1.0em]
& = -\frac{1}{3}\cdot 1^3 +\frac{1}{2}\cdot 1^2 + \frac{1}{3}(2^3-1^3) -\frac{1}{2}(2^2-1^2) \hspace{10pt}\\[1.0em]
& = -\frac{1}{3} +\frac{1}{2} + \frac{7}{3} -\frac{3}{2}\\[1.0em]
& = 1
\end{aligned}
$$
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