絶対値記号を含む二次関数の定積分

【解答のポイント】

関数 \({f(x)}\) の不定積分を \({F(x)}\) とするとき、2つの実数 \({a,b}\) で定義される区間 \({a \leqq x \leqq b}\) における定積分は以下のように計算します。 $$ \begin{aligned} \hspace{10pt}\int_a^{b} f(x)dx & = \left[ f(x) \right]_a^b \\[1em] & = F(b)-F(a)\\[1em] \end{aligned} $$

絶対値記号を含む場合、絶対値記号を外して積分する必要があります。

【解答】

問題の被積分関数を因数分解すると $$ \begin{aligned} \hspace{10pt}& \int_{0}^{4} |x^2-2x-3|\hspace{1pt}dx \\[1em] &= \int_{0}^{4} |(x+1)(x-3)|\hspace{1pt}dx \\[1em] \end{aligned} $$

\({0 \leqq x \leqq 3\hspace{1pt}}\)のとき\({\hspace{1pt}(x+1)(x-3) \leqq 0 }\)
\({3 \leqq x \leqq 4\hspace{1pt}}\)のとき\({\hspace{1pt}(x+1)(x-3) \geqq 0 }\)
であることから

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