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絶対値記号を含む一次関数の定積分

◆第問目！

【 難易度 ★ 】
　　次の定積分を求めよ $$ \large {\int_{0}^{2} |x-1|\hspace{1pt}dx }$$

【解答のポイント】

関数 \({f(x)}\) の不定積分を \({F(x)}\) とするとき、2つの実数 \({a,b}\) で定義される区間 \({a \leqq x \leqq b}\) における定積分は以下のように計算します。 $$ \begin{aligned} \hspace{10pt}\int_a^{b} f(x)dx & = \left[ f(x) \right]_a^b \\[1em] & = F(b)-F(a)\\[1em] \end{aligned} $$

絶対値記号を含む場合、絶対値記号を外して積分する必要があります。

【解答】

\({x \leqq 1\hspace{2pt}}\)のとき \({|x-1| = -x+1\hspace{2pt}}\)
\({x > 1\hspace{2pt}}\)のとき \({|x-1| = x-1\hspace{2pt}}\)
であることから

$$ \begin{aligned} \hspace{10pt}& \int_{0}^{2} |x-1|\hspace{1pt}dx\\[1em] &= \int_{0}^{1} (-x+1)\hspace{1pt}dx + \int_{1}^{2} (x-1)\hspace{1pt}dx \\[1em] & = \left[-\frac{1}{2}x^2 + x \right]_0^1 + \left[\frac{1}{2}x^2 - x \right]_1^2 \hspace{10pt}\\[1.0em] & = -\frac{1}{2}+1 + \frac{1}{2}(2^2-1^2) -(2-1) \\[1.0em] & = -\frac{1}{2}+1 + \frac{3}{2} -1\\[1.0em] & = 1\\[1.0em] \end{aligned} $$

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